Jugar al billar en mesas extrañas

Jugar al billar en mesas extrañas

En el ámbito del billar matemático se ha producido un avance atrayente.

Al igual que el billar y el snooker, el billar radica en bolas que ruedan sobre una mesa. A los matemáticos les agrada pensar en ello pues, si bien la configuración es bien simple, pueden ocurrir todo tipo de cosas extrañas y maravillosas. “Se puede pensar en el billar matemático como un campo de pruebas para explorar lo que puede suceder en sistemas activos que se muestran en la vida real”, afirma Oscar Bandtlow, uno de los matemáticos tras el último resultado. “De ahí que se ha creado toda una teoría del billar matemático. Y todavía expone preguntas que no hemos podido responder”.

Si en algún momento has jugado al billar o al snooker, tal vez en un pub con poca luz a medianoche, sabes que la realidad física influye en el juego. Las bolas en movimiento sienten la fricción de la mesa y al final se detienen. La mesa podría estar torcida y las bolas abolladas. Tu capacidad para publicar la pelota exactamente hacia donde deseas, especialmente si estás en un pub con poca luz a medianoche, asimismo podría verse afectada. O quizás jamás adquiriste esa capacidad en primer lugar.

Una pelota en matemáticas rebota en el costado de la mesa de la misma manera que lo hacen las pelotas reales, siguiendo el ley de reflexión el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

El billar matemático ignora estos inconvenientes físicos. Piensa las bolas como puntos que no sienten fricción, de modo que en el momento en que una bola se pone en marcha, proseguirá moviéndose para toda la vida. En el momento en que una bola toca un lado de la mesa rebota como lo hacen las bolas reales, saliendo en exactamente el mismo ángulo hacia el lado por el que llegó.

Como las mesas de billar reales, pero en contraste a las mesas de billar, una mesa de billar matemática no tiene troneras en las que pueda caer una bola. Si una bola rueda hasta un rincón de la mesa, se piensa que se queda atrapada allí para toda la vida. Dado que los matemáticos suelen estar apasionados ​​en lo que ocurre encima de la mesa a largo plazo, de manera frecuente ignoran esta posibilidad, centrándose solo en trayectorias que nunca terminan en un rincón y, por ende, siguen para siempre.

Todo o nada

La pregunta es, ¿qué le puede pasar a una bola matemática cuando se puso en movimiento? Si golpea un lado de la mesa de frente, de modo que lo encuentra en un ángulo de 90 grados, entonces sencillamente volverá sobre su camino hasta el momento en que llegue a un punto en el lado contrario, solo para volver sobre su sendero de nuevo. Obtienes un movimiento periódico, rebotando hacia adelante y hacia atrás entre dos puntos opuestos para siempre. Con un tanto más de elegancia también podremos lograr que una bola choque periódicamente entre tres, 4 o aun mucho más puntos de los lados de la mesa.

Jugar al billar en mesas extrañas

Izquierda si disparas una pelota de modo que toque la pared en ángulo recto, rebotará entre puntos opuestos de la mesa para siempre. Derecha de manera afín, puedes hacer que la pelota viaje entre 4 puntos. Estos son ejemplos de trayectorias periódicas.

Como sabrás por el juego de la vida real, lograr que una pelota se comporte periódicamente es bien difícil. La mayoría de las ocasiones (en verdad, la mayoria de las veces) cuando una pelota se mueve, la trayectoria que proseguirá es mucho más salvaje. Lo asombroso es que, en el momento en que una trayectoria se vuelve ida, lo realiza completamente dado el tiempo suficiente, una trayectoria no periódica fundamentalmente va a llenar toda la tabla, acercándose arbitrariamente a cada punto de la tabla. O sea sorprendente, pero hay pruebas matemáticas (consulte este producto para conseguir más datos).

Esto nos deja con una situación de todo o nada. O la trayectoria de una pelota es totalmente mansa, volviendo sobre el mismo sendero una y otra vez hasta la eternidad, o acaba yendo prácticamente a todas partes. (Eso es ignorar las trayectorias que se atascan en las curvas, como señalamos anteriormente).

Billar sobre polígonos

El resultado de todo o nada no solo se aplica a las mesas con forma cuadrado. Puedes jugar al billar matemático sobre un cuadrado, un triángulo equilátero, un pentágono regular, un hexágono regular, un heptágono regular, etc., y siempre y en todo momento hallarás exactamente los mismos 2 tipos de comportamiento posibles o la trayectoria de una bola es periódica, o eventualmente se aproxima lo más que desees a cada punto de la mesa. En este último caso diríase que la trayectoria de la pelota es espeso. (Nuevamente, eso es ignorar las trayectorias que acaban en un rincón).

Ciertos polígonos regulares. Fila superior un triángulo equilátero, un cuadrado y un pentágono regular. Fila inferior un exágono, un heptágono y un octágono regulares.

Esto expone una pregunta natural ¿existe alguna forma de tabla donde el resultado no se aplica? Esto significaría que una bola puede desplazarse de manera no periódica y dejar fuera parte de la mesa.

Las formas citadas anteriormente son todas polígonos, o sea, formas cerradas acotadas por trozos de línea recta. De hecho, son polígonos regulares cuyos lados tienen todos exactamente la misma longitud. Además, no tienen abolladuras hacia el interior, esto es, son convexo (ver Wikipedia para una definición formal).

Billar poligonal

Un ejemplo de polígono no convexo. Tiene una abolladura que mira hacia adentro, tal y como si alguien hubiera roto un trozo de un rectángulo.

El resultado de todo o nada solo se demostró válido para polígonos regulares y una clase de polígonos convexos muy particulares que, como los regulares, también son enormemente simétricos. Pero ¿qué sucede con los polígonos convexos genéricos que no son tan destacables? ¿El resultado de todo o nada también se aplica a ellos? (Respecto a los polígonos no convexos, hay ejemplos de ellos para los cuales el resultado de todo o nada se cumple y ejemplos en los que falla. Y de todas formas, no son tan buenos como los convexos, por lo que los ignoramos).

En 1983 el matemático GA Galperin probó que la respuesta es no. Probó que, para cualquier número de lados que quieras escoger, hay un polígono convexo con esa proporción de lados para los que el resultado falla. Para estos polígonos puedes encontrar trayectorias que no son ni espesas ni periódicas. Semeja, entonces, que el resultado de todo o nada es una característica de sólo unos pocos selectos y particulares.

Había, no obstante, algo interesante en la demostración de este resultado por parte de Galperin. Usó la misma técnica para todos y cada uno de los polígonos de 4 lados o más, pero para los polígonos de tres lados, esto es, triángulos, debió idear una técnica diferente. Treinta y dos años después quedó claro que el razonamiento de Galperin sobre los triángulos había sido, de hecho, erróneo. En 2015, George William Tokarsky publicó un documento muy corto lo que señaló un error en la parte de la prueba que se aplica a los triángulos. Esto transformó el caso del triángulo en una provocación tentadora para los matemáticos. ¿Son los triángulos como todos los demás polígonos, por lo que el resultado de todo o nada puede fallar, o son de alguna forma especiales, con lo que el resultado siempre debe cumplirse?

El nuevo resultado

Esa es exactamente el interrogante que Bandtlow, adjuntado con Wolfram solo y Julia Slipantschuk, supo contestar. El equipo halló una familia de triángulos en los que una bola de billar matemática puede desplazarse de forma no periódica y, al tiempo, perderse una sección entera de la mesa. En consecuencia, el resultado de todo o nada falla para semejantes triángulos; en este sentido, los triángulos no son más especiales que sus primos de varios lados.

En la imagen siguiente se muestra un caso de muestra. El triángulo tiene dos lados iguales, que se detallan como los dos lados que se inclinan hacia arriba. Los dos ángulos en la base de los triángulos son  y el de la punta es . Como señala la figura, la trayectoria de la pelota en este caso, que se expone en azul, pasa por alto la punta del triángulo.

Un ejemplo de un tramo de trayectoria en un triángulo. Incluye 500 rebotes en los lados de la mesa triangular. La trayectoria no es periódica y prácticamente llena una gran parte del triángulo, pero pasa por alto la punta. Imagen de Trayectorias densas no periódicas en todas y cada una partes en billar triangularusado con permiso.

El resultado cierra la brecha en la teoría del billar que había abierto la demostración de Tokarsky del error de Galperin.

“Nos encontramos contentísimos de haber resuelto al final la situacion del triángulo”, asegura Bandtlow. “En este momento veremos si las herramientas que nosotros y otros hemos desarrollado pueden responder otras preguntas abiertas en el billar matemático, y todavía hay muchas de ellas”.